Am Vierzehnten dieses Monats war/ist «Pi-Day». Immer am vierzehnten März feiert man diesen Tag, weil sein Datum, in der amerikanischen Notation 3.14, eine gute Näherung an die berühmte mathematische Konstante Pi ist. Ich rate Ihnen darum, dass Sie zu dieser Kolumne nicht nur einen Kaffee geniessen, sondern dazu noch ein Stück eines kreisrunden Kuchens mit Durchmesser 20 Zentimeter. Seine Fläche beträgt dann nämlich exakt Pi Quadratdezimeter (Rechnen Sie nach.)

Wenn man verschiedene kreisrunde Objekte (Kaffeetasse, Kerze, Vase, …) ausmisst, bemerkt man schnell, dass sie sich zwar alle in Umfang und Durchmesser unterscheiden, dass das Verhältnis dieser beiden Grössen aber konstant ist, unabhängig von der Grösse der Kreise. Dieses Verhältnis heisst Pi, und es sagt uns, wie oft der Durchmesser auf dem Umfang Platz hat, eben ein wenig mehr als dreimal. Archimedes hat dem Kreis mit Durchmesser 1 Längeneinheit je ein regelmässiges Sechseck ein- und umbeschrieben (siehe Abbildung). Für die Umfänge der beiden Sechsecke errechnete er 3 respektive 3.464. Da der Kreisumfang sicherlich grösser als der Umfang des einbeschriebenen, aber kleiner als der Umfang des umschriebenen Sechsecks sein muss, konnte er schliessen, dass Pi irgendwo zwischen diesen beiden Zahlen liegen muss. Um diese Näherung schrittweise zu verbessern, hat Archimedes die Eckenzahl laufend verdoppelt (12, 24, 48, 96 Ecken) und immer die Umfänge berechnet. Durch diese Intervallschachtelung konnte er schliesslich nachweisen, dass Pi zwischen 3.1408 und 3.1429 liegen muss; er hatte also zwei sichere Nachkommastellen gefunden.

So brillant dieses Verfahren auch ist, es konvergiert leider sehr langsam: Nach zehn Verdoppelungen sind erst fünf Nachkommastellen fest, nach fünfundzwanzig Verdoppelungen erst deren vierzehn. Mit Computerhilfe hat man bis heute mehr als 22 Billionen Stellen errechnet. Das ist viel und doch so gut wie nichts, denn Pi hat nach dem Komma unendlich viele Stellen ohne periodisches Muster; man sagt: Pi ist irrational, was auch bedeutet, dass es unmöglich ist, einen Bruch aus ganzen Zahlen zu finden, welcher exakt den Wert Pi hat. Ohnehin ist die Angabe von sehr vielen Nachkommastellen für praktische Belange sinnlos, denn schon mit zwölf Nachkommastellen könnte man den Umfang eines Kreises mit der Erde als Mittelpunkt und einem Radius, der bis zur Sonne reicht, bis auf einen Meter exakt messen.

Can I have a large container of coffee sugar and cream? Was meinen Sie, was könnte diese Frage mit der Zahl Pi zu tun haben? Und zweitens: Meine Kaffeetasse hat einen Umfang von 245 Millimetern und einen Durchmesser von 78 Millimetern. Allerdings kann ich nicht so genau messen, beide Werte haben nämlich eine Messungenauigkeit von 0.5 Millimetern. Wenn ich aus diesen Angaben Pi bestimmen möchte, zwischen welchen beiden Werten wird diese Zahl dann liegen müssen?

Armin P. Barth ist Gymnasiallehrer an der Kantonsschule Baden und Autor. Die Lösung erscheint am nächsten Dienstag auf der Seite Leben&Wissen.