Edition Zeitblende, AT-Verlag, Aarau und München, 2018
ISBN: 978-3-03800-024-2
Die Mathematik ist eine der ältesten und geheimnisvollsten Wissenschaften der Menschheit. Unser Alltag wäre ohne die Welt der Zahlen, Formeln und Gleichungen kaum zu bewältigen. Dennoch steht die Mathematik in dem Ruf, schwierig und langweilig zu sein. Wer erinnert sich nicht an quälende Stunden vor Aufgaben, die, je länger man sich mit ihnen beschäftigte, immer unlösbarer erschienen. Nicht so bei Armin Barth. Er führt uns in einen Kontinent voller Wunder und Schönheit. Folgt man ihm auf dieser Entdeckungsreise, wird man erstaunt bemerken, wie grossartig es sein kann, mit Primzahlen zu jonglieren, Beweise zu führen und sich der Unendlichkeit zu nähern. Um die Rätsel der Mathematik zu entschlüsseln, braucht es kaum Vorkenntnisse. Alles, was man haben sollte, ist ein wacher Verstand und etwas Phantasie. Das Buch ist eine Ermutigung, beides zu benutzen und zu entwickeln. Ergänzt wird der Text mit den über 200 Zeichnungen von Helmut Brade, die in ihrer Einzigartigkeit die Eleganz der Mathematik betonen. Im Buch enthalten sind kleine mathematische Aufgaben und Rätsel, deren Lösung viel Vergnügen bereitet. In einem dem Buch beigelegten Lösungsheft kann man die Auflösung nachvollziehen.
Rezensionen:
Blog kunstundliteratur
spektrum.de
Springer Verlag, Berlin 2013
ISBN 978-3-658-02282-2
Für Studierende, Lehrer und Schüler in den Fächern Mathematik und Informatik
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Gleich vorweg: Uneingeschränkt empfehlenswert ist dieses Lehrbuch für die vom Verlag genannte Zielgruppe, nämlich für Lehrer, Studierende und Gymnasialschüler der Fächer Mathematik und Informatik.
Die Auswahl der Inhalte und ihre Präsentation sind sehr gelungen. Die Darstellung erfolgt tatsächlich strikt unter dem Motto „für Einsteiger“. So ist es sehr motivierend, dass die einzelnen Abschnitte stets mit einem Überblick über das Folgende eingeleitet werden und auf diese Weise den Leser auf die Inhalte der kommenden Seiten vorbereiten. Sehr hilfreich dürfte es auch sein, dass die Beweise – nicht wie von Autoren der mathematischen Eleganz wegen oft möglichst knapp gehalten – sondern sehr ausführlich und mit erläuternden Zwischenbemerkungen versehen sind. Auch Definitionen fallen nicht unmotiviert vom Himmel, sie werden vielmehr vorbereitet, bevor sie ihre endgültige Form erhalten. Dazu dienen auch immer wiederkehrende kurze Absätze, die die Aufforderung „Zum Nachdenken“ in der Überschrift tragen, und den Leser – auch mit zusätzlichen Informationen – zum Innehalten und selbständigen Nachdenken anleiten wollen. Nach einführenden Bemerkungen zum Algorithmus-Begriff und seiner historischen Entwicklung im ersten Kapitel (25 Seiten) werden im zweiten wichtige Algorithmen vorgestellt, u. a. der euklidische Algorithmus, ein Primzahltest, die „Türme von Hanoi“ (mit einer ausführlichen Beschreibung der Funktionsweise der Rekursion), einfache (langsame) Sortieralgorithmen, der Dijkstra-Algorithmus zum Durchlaufen von Graphen und aus der Kryptologie der RSA- und ein Zero-Knowledge-Algorithmus (70 Seiten).
Das dritte Kapitel zum Thema „Effizienz von Algorithmen“ erläutert die Landausche Symbolik der O-Schreibweise, führt als Beispiel des divide-and-conquer-Prinzips das schnelle Sortierverfahren von Hoare vor und bringt eine Einführung in die Komplexitätstheorie (40 Seiten). Gerade hier werden die Beweise sehr übersichtlich und ausführlich dargestellt. Das vierte Kapitel ist den Turing-Maschinen gewidmet (35 Seiten). Hier werden zunächst einige Programme für diese detailliert hergeleitet, bevor die universelle Turing-Maschine beschrieben wird. Die Diskussion der Church-Turing-These beschließt diesen Abschnitt. Das letzte Kapitel (40 Seiten) – überschrieben mit „Grenzen des Formalisierens“ – führt zum einen die Entdeckung vor, dass es nicht-berechenbare Funktionen und damit Probleme gibt, die prinzipiell nicht von Computern gelöst werden können (neben dem bekannten Halteproblem werden auch weitere Beispiele vorgestellt). Zum anderen wird hier ausführlich auf die Komplexitätstheorie und die P-NP-Problematik der „schwierigsten Probleme der Welt“ eingegangen.
Jedes Kapitel endet mit einer Vielzahl von Aufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades (für einige sind im Anhang Lösungen angegeben) sowie einer Literaturliste.
Orell Füssli Verlag, Zürich, 2012
ISBN 978-3-280-04070-6
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30 mathematische Herausforderungen für findige Köpfe Unterhaltsame Texte von den Anfängen der Mathematik über das Beweisen und die Unendlichkeit bis hin zu handfesten Anwendungen. Die 30 Texte sind leicht verständlich und die zugehörigen Aufgaben können praktisch ohne Vorkenntnisse gelöst werden.
Der zweite Teil des Buches enthält neben den Lösungen der Aufgaben vertiefende Einblicke, Erläuterungen und weiterführende Erklärungen zu den einzelnen Texten.
Das Buch richtet sich an alle interessierten Laien, aber natürlich auch an werdende und praktizierende Lehrpersonen sowie an Schülerinnen und Schüler, die mit Mathematik zu tun haben wollen.
Buchbesprechung (auf www.wurzel.org - PDF)
"...beste Einführung, die ich zur Zeit kenne..."
(Dr. F. Brand, Berlin)
"... sehr gute Auswahl für Einsteiger ... übersichtlich, locker, ansprechend, flüssig ..."
(Prof. G. Gramlich, FH Ulm)
"Ein historischer Überblick, die Definition, Eigenschaften und Effizienz von Algorithmen sowie viele Beispiele - das sind genau die Themen, die ein Einsteiger über dieses Gebiet erfahren möchte und die er in diesem Buch auch vermittelt bekommt. (...) Der Inhalt des Buches wird sehr übersichtlich für den Leser dargestellt. (...) Dieses Buch werde ich meinen Studenten empfehlen, weil gerade Ingenieur- und vor allem Physikstudenten mit Problemstellungen konfrontiert werden, die mit den klassischen (theoretischen) mathematischen Betrachtungen, wie sie heute in den Mathematikvorlesungen vermittelt werden, nicht mehr allein gelöst werden können. Eine Beschäftigung mit numerischen Verfahren und deren Implementierung sowie die Diskussion über die Effizienz und Komplexität von Algorithmen spielt eine immer grösser werdende Rolle. Das vorliegende Buch leistet einen Beitrag, die Studenten an diese für sie neue Disziplin heranzubringen."
(Dr. J. Thierfelder, Technische Universität Ilmenau)
P. Cotter u.a.
Sabe-Verlag, Aarau, 2001
ISBN 3-252-06097-3
Mathematik ist eine Kunstsprache. Sie kann nicht die Schönheit einer Blume oder das Brennen eines seelischen Schmerzes beschreiben, aber sie vermag wie keine andere Sprache wissenschaftliche Zusammenhänge präzise und unmissverständlich auszudrücken. Um das zu tun, benutzt sie Instrumente, die so wohlklingende Namen haben wie etwa «Gleichungssysteme», «Graphen», «Integrale», «Differentialgleichungen» usw. Jedes dieser Instrumente steht für raffinierte Methoden und Formalismen, die dazu dienen, Modelle herzustellen, die bestimmte Weltausschnitte möglichst adäquat und nützlich abbilden können.
Die hier vorliegenden Kapitel widmen sich dem Instrument der linearen Gleichungssysteme. Sie werden immer dann erfolgreich eingesetzt, wenn ein Problem oder eine Frage mithilfe einiger Gleichungen erfasst werden kann, die zudem besonders einfache (eben lineare) Gestalt haben. Es wird zunächst darum gehen, zu verstehen, welcher Art Probleme sein müssen, damit sie diesem Instrument überhaupt zugänglich werden; und in weiteren Schritten wird geklärt, wie solche Probleme mit mathematischer Sprache erfasst und mit geeigneten Verfahren gelöst werden können.
Mathematik ist eine spezielle Weise, auf die Welt zu schauen. Und überall dort, wo sie zupacken kann, liefert sie Resultate, zu der keine andere von Menschen geschaffene Disziplin fähig ist. Seien Sie nun herzlich willkommen in demjenigen Weltausschnitt, in dem die linearen Gleichungssystemen zu Hause sind.
Für kleinere Systeme funktionieren die Substitutionsmethode und die Additionsmethode recht gut. Es stellt sich die Frage, wie man bei bedeutend grösseren linearen Gleichungssystemen vorgehen müsste und ob solche überhaupt von praktischer Relevanz sind. Die Antwort auf die zweite Frage ist ein entschiedenes Ja.
Das Standardmodell der Physik versucht zu erklären, wie die Materie aufgebaut ist, aus welchen kleinsten Bausteinen sie besteht. Das Standardmodell dringt zu den Atomen und deren Bestandteilen vor und untersucht das Verhalten und die Interaktionen von Elektronen, Quarks, Photonen, Gluonen, Neutrinos und anderen Bausteinen unserer Welt. Neue Erkenntnisse auf diesem Gebiet werden hauptsächlich durch Teilchenkollisionen gewonnen: In grossen Teilchenbeschleunigern, etwa am CERN in Genf, beschleunigt man Elementarteilchen zu Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit und lässt sie dann aufeinanderprallen. Aus den in riesigen Detektoren beobachteten Kollisionen zieht man Rückschlüsse auf die Eigenschaften der beteiligten Elementarteilchen. Wenn man berechnen will, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei einer bestimmten Kollision bestimmte Teilchen entstehen, entstehen Tausende von linearen Gleichungen in Tausenden von Variablen.
Dieses Beispiel zeigt eindrücklich, dass Wege gefunden werden müssen, mit riesigen linearen Gleichungssystemen umgehen zu können. Eine von Hand durchgeführte Substitutionsmethode scheitert hier kläglich. Ziel dieses Hefts ist es, einen Algorithmus zu lernen, der erstens effizienter mit grösseren Systemen umgehen kann und der zweitens relativ einfach programmiert werden kann, sodass sogar die Möglichkeit einer automatischen Auflösung eines linearen Gleichungssystems mittels Computern in die Nähe rückt.
Bevor wir diesen berühmten Algorithmus besprechen, soll ein Kapitel vorangestellt werden, das die Gelegenheit gibt, Strategien zu lernen, mit denen gewisse (auf lineare Gleichungssysteme führende) Probleme erfolgreich gelöst werden können.
Viele Probleme, die in Wirtschaft, Technik und Verwaltung heute anfallen, sind so komplex, dass sie nur noch mit mathematischen Modellen befriedigend gelöst werden können. Einem bestimmten Typus praktisch relevanter Probleme (und der Lösungsmethode) widmen wir uns in diesem Band: den linearen Optimierungsproblemen. Verglichen mit der rund 4000-jährigen Mathematikgeschichte ist dies ein sehr junger Zweig der Mathematik. Der Algorithmus, der diese Methode ins Leben rief, wurde erst im Jahr 1946 geschaffen.
Die enorme praktische Bedeutung linearer Optimierung wurde sehr schnell verstanden. So wurde die Methode bereits zu Beginn der 1950er-Jahre dazu benutzt, zu berechnen, an welchen Standorten Erdölraffinerien angelegt werden müssen, damit die Öltransporte insgesamt möglichst preisgünstig ausfallen. Und im Jahr 1958, beim Wiederaufbau der Stadt Moskau, wurde die Methode benutzt, um zu berechnen, wie der Transport von Kies aus 10 Gruben zu 230 Baustellen in der Stadt möglichst kostensparend organisiert werden konnte.
Den Anstoss zur Schaffung dieser mathematischen Methode haben also eindeutig praktische Bedürfnisse gegeben. Wir nähern uns der linearen Optimierung, indem wir ein Kapitel über lineare Ungleichungssysteme an den Anfang stellen; auf solche Systeme nimmt die Methode nämlich immer Bezug. Erst danach machen wir die lineare Optimierung zum Zentrum unserer Untersuchungen.