Die Mathematik ist voll von interessanten Fragestellungen; man begegnet ihnen auf Schritt und Tritt, wenn man sich neugierig mit ihren Objekten auseinandersetzt. Spielen wir zum Beispiel ein wenig mit Zahlen:

Es ist klar, dass eine Zahl, die auf 2 endet, durch 2 teilbar ist, und wenn wir sagen „teilbar“, meinen wir immer ohne Rest. Ist daran irgendetwas interessant? Nun ja, eigentlich nicht; Zahlen, die auf 2 enden, sind gerade, und alle geraden Zahlen sind durch 2 teilbar. Das ist nicht gerade verblüffend. Immerhin gilt das gleiche für die Ziffer 3 aber nicht: Zahlen, die auf 3 enden, sind nicht automatisch durch 3 teilbar. Denken wir nur an 43. Dieses Gegenbeispiel widerlegt eine allfällige Vermutung, es könnte bei 3 genauso sein. Okay, jetzt haben wir die Fährte aufgenommen. Es ist offenbar eine interessante Frage, ob eine Zahl, die auf eine bestimmte Ziffer endet, auch immer durch diese teilbar ist oder nicht.

Bei genauem Betrachten ist die Frage aber enttäuschend einfach: Eine Zahl, die auf 1 endet, ist immer durch 1 teilbar. Eine Zahl, die auf 2 endet, ist immer durch 2 teilbar. Eine Zahl, die auf 5 endet, ist immer durch 5 teilbar. Bei allen restlichen Endziffern geht es nicht, in jedem Fall findet man leicht ein Gegenbeispiel. So weit, so gut. Aber wie ist es, wenn wir nicht nur die letzte Ziffer betrachten, sondern ganze Ziffernblöcke, auf die eine Zahl endet? Zum Beispiel: Wenn eine Zahl auf 12 endet, ist sie dann automatisch durch 12 teilbar? Nein, gar nicht. Die Zahl 112 endet auf 12, aber sie ist selber nicht durch 12 teilbar. Jedoch: Die Zahl 37‘925 endet auf 25, und sie ist auch teilbar durch 25. Und schon tut sich ein interessantes Forschungsfeld auf: Bei was für Ziffernfolgen kann man sagen, dass wenn eine Zahl auf diese Ziffernfolge endet, sie auch sicher durch sie teilbar ist? Nennen wir solche Zahlen zum Spass „magische Zahlen“, so erhebt sich die Frage, wie eine magische Zahl beschaffen sein muss.

Hmm…das ist schon viel interessanter. Sagen wir einmal, eine Zahl ende auf den Ziffernblock ‚25‘. Dann hat sie also die Form abc…e25, wobei a, b, c, …, e irgendwelche Ziffern sind. Da ‚25‘ aus 2 Ziffern besteht, lässt sich unsere Zahl folglich schreiben als Q10²+25 für irgendeine Zahl Q. Nun können wir etwas ganz deutlich erkennen: Da 10² durch 25 teilbar ist und da natürlich auch 25 durch 25 teilbar ist, muss die ganze Zahl durch 25 teilbar sein. 25 ist also magisch. Das überrascht uns nicht, aber es öffnet die Türe zur Lösung ein wenig weiter.

Sei N eine magische Ziffernfolge. Dann muss also eine Zahl, die auf N endet, durch N teilbar sein. Eine Zahl, die auf N endet, hat die Form Q10^x+N, wobei x die Anzahl Ziffern von N und Q einfach irgendeine Zahl ist. Wenn N magisch sein soll, muss 10^x zwingend durch N teilbar sein. Damit ist klar, dass N selber in eine gewisse Anzahl 2en und 5en zerlegbar sein muss. Aber wie viele? Haben Sie Lust, mehr darüber herauszufinden?

Armin P. Barth ist Gymnasiallehrer an der Kantonsschule Baden und Autor. Die Lösung erscheint am nächsten Dienstag auf der Seite Leben&Wissen.