IN DER MATHEMATIK ist es sehr einfach, interessante Fragen zu stellen. Und nicht selten fallen die Antworten überaus anspruchsvoll aus. Denken Sie nur an den Vierfarbensatz: 1852 stellte Francis Guthrie, als er eine Karte aller englischen Grafschaften einfärben wollte, die Frage, ob wohl vier Farben immer ausreichen, um jede nur denkbare Landkarte so einzufärben, dass zwei Länder mit gemeinsamer Grenze unterschiedliche Farben bekommen (vgl. Abbildung)? So harmlos die Frage klingen mag, so schwierig ist es aber, einen befriedigenden Beweis für die Vermutung zu erbringen; in der Tat gibt es bis heute keinen Beweis, der allein menschlichem Denken entspringt und gänzlich auf den Einsatz von Computer-Rechenstärke verzichtet.

Heute stellen wir die folgende harmlose Frage: Welche Zahlen kann man als Summe von einigen (mindestens zwei) aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen schreiben? Zum Beispiel kann man die Zahl 7 als 3+4 schreiben, 12 kann man als 3+4+5 schreiben, 36 kann man als 1+2+3+4+5+6+7+8 oder auch als 11+12+13 schreiben, und so weiter. Geht das immer? Wenn man es mit den ersten 50 Zahlen versucht, so geht es in der Tat immer ausser bei den folgenden: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Bei diesen Zahlen schlagen alle Versuche fehl; bitte probieren Sie es ruhig, um sich davon zu überzeugen. Diese Ausnahmezahlen sind hochinteressant, denn es sind genau die Potenzen von 2, und das wird wohl kein Zufall sein. Kann es also sein, dass es immer geht, wenn die Zahl keine Potenz von 2 ist?

Was charakterisiert denn eine Zahl, welche keine Zweierpotenz ist? Ganz klar, sie hat mindestens einen ungeraden Teiler. Nehmen wir als Beispiel die Zahl 20; sie ist keine Zweierpotenz, weil sie einen ungeraden Teiler hat, nämlich 5. Und da 20 gleich 4 mal 5 ist, können wir 20 schreiben als 4+4+4+4+4 mit einer ungeraden Zahl von Summanden. Man kann sich das als fünf Portionen vorstellen, von denen jede 4 kg wiegt, und zusammen ergeben sie das Gewicht von 20. Nun können wir einfach die Portionen etwas umpacken: Der ersten Portion links von der Mitte nehmen wir 1 kg weg und laden es dafür auf die erste Portion rechts von der Mitte, und der Portion ganz links aussen nehmen wir 2 kg weg und laden diese dafür auf die Portion ganz rechts aussen. So entsteht: 2+3+4+5+6. Und wir haben es geschafft, 20 in der verlangten Art zu schreiben. Da diese Vorgehensweise immer funktioniert, wenn die Zahl einen ungeraden Teiler hat, können wir also sicher sein, dass es immer geht, wenn die Zahl keine Zweierpotenz ist. 7 zum Beispiel hat den ungeraden Teiler 7, es ist daher 7=1+1+1+1+1+1+1. Nach Umpacken der Gewichte erhalten wir (-2)+(-1)+0+1+2+3+4, und da sich die ersten fünf Summanden zu Null addieren, bleibt gerade 3+4 übrig.

Eine weitere interessante Frage ist diese: Welche Zahlen kann man als Summe von einigen aufeinanderfolgenden geraden oder aber ungeraden Zahlen schreiben wie etwa 6=2+4 oder 9=1+3+5? Können Sie hierzu eine Vermutung aufstellen?

Armin P. Barth ist Gymnasiallehrer an der Kantonsschule Baden und Autor.

Die Lösung erscheint am nächsten Dienstag, 8. April, auf der Seite «Leben & Wissen.»