DIE FOLGENDE Fragestellung heisst Isis-Problem: Wie viele und welche Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen gibt es, bei denen der Umfang gleich dem Flächeninhalt ist? Das klingt komplizierter, als es ist. Wir suchen also Rechtecke. Ein Rechteck hat immer eine Länge, sagen wir x, und eine Breite, sagen wir y. Beides sollen aber ganze Zahlen sein. Nun wird verlangt, dass der Umfang gleich dem Flächeninhalt ist. Genau genommen ist das unmöglich, da die beiden Grössen verschiedene Einheiten haben. Aber wir können immerhin verlangen, dass die beiden Masszahlen gleich sind, dass also 2x + 2y = x y ist. Gibt es solche Rechtecke? Und wenn ja, wie viele?

Die Gleichung lässt sich umformen zu 1/x + 1/y = 1/2. Eine Lösung springt nun sofort ins Auge: x = y = 4. Dieses Rechteck ist eigentlich ein Quadrat, hat den Umfang 16 und auch den Flächeninhalt 16 und löst somit das Isis-Problem. Gibt es noch andere Lösungen? Nun, abgesehen von der schon erwähnten Lösung, kann man 1/2 nur dann als Summe zweier Brüche mit Zähler 1 schreiben, wenn der eine Bruch kleiner und der andere grösser als 1/4 ist. Die Brüche, die grösser als 1/4 sind, sind schnell aufgezählt: 1/3, 1/2, 1/1. Testet man die drei Brüche, so findet man nur noch eine weitere Lösung, nämlich x = 3 und y = 6 (oder umgekehrt); dieses Rechteck hat Umfang 18 und auch Flächeninhalt 18 und löst somit das Isis-Problem auch. Und weitere Rechtecke kann es nicht geben. Der Name dieses Problems geht wohl auf eine Bemerkung des griechischen Schriftstellers Plutarch zurück, der in einer seiner Schriften den ägyptischen Isis-Kult beschrieb. Danach wurden die beiden Zahlen 16 und 18 mit der Göttin Isis in Zusammenhang gebracht, weil in der Mitte dieser Zahlen 17 liegt und am 17. Tag des Monats jeweils die Abnahme des Mondes deutlich wird und daher Isis’ Tod an einem 17. erwartet wurde.

Noch viel eleganter lässt sich das Problem so lösen: Da die Seitenlängen ganzzahlig sind, können wir das Rechteck mit quadratischen Platten vom Format 1 × 1 auslegen (siehe Abb.). Welche Fläche beanspruchen die gefärbten Platten, die den Rand bilden, allein für sich? Da in jeder der beiden Längen x und in jeder der beiden Breiten y Platten liegen und jede Platte Flächeninhalt 1 hat, ergibt das eine Fläche von 2x + 2y – 4 allein für den Rand. Somit bleibt für die weissen Platten im Inneren des Rahmens nur noch eine Fläche von 4 übrig. Das Innere muss also (nicht wie in der Abbildung) genau 4 Platten enthalten, und diese kann man entweder in einer Reihe oder als Quadrat anordnen. Im ersten Fall entsteht ein Rechteck vom Format 6 × 3 und im zweiten eines vom Format 4 × 4. Weitere Lösungen kann es also nicht geben. Interessant wäre es, das Isis-Problem zu einer räumlichen Version auszuweiten: Wie viele Quader mit ganzzahligen Seitenlängen gibt es, bei denen Oberfläche und Volumen gleich sind?

Die Lösung erscheint mit der nächsten Kolumne am 7. Februar.

Lösung vom 6. 12. 2011: FROHE WEIHNACHTEN UND DIE BESTEN WUENSCHE ZUM NEUEN JAHR