DER IM SCHOTTISCHEN Hochland gelegene Süsswassersee Loch Ness hat eine überdurchschnittliche Tiefe. Und wenn man den vielen Beobachtungen glauben darf, dann hält sich in diesen Tiefen ein Monster auf, das gelegentlich auftaucht, um Touristen zu erschrecken. Die hier vorgestellte Aufgabe handelt auch von einem See und einem Monster, aber diesmal lauert das Monster (M) ausserhalb des Sees und ist unfähig zu schwimmen, während Alice im Ruderboot im Zentrum Z des kreisrunden Sees sitzt und gerne an Land möchte. Alice wälzt folgende Zahlen im Kopf: Der (kleine) See hat einen Radius von R = 50 Meter. Sie kann mit einer Geschwindigkeit von 1 Meter pro Sekunde rudern, während das Monster sich mit 4 Metern pro Sekunde an Land bewegt. Schafft sie es, eine Uferstelle vor dem Monster zu erreichen, kann sie entfliehen, weil sie an Land schneller rennen kann als das Tier.

Alice’ erste Idee besteht darin, von Z aus schnurgerade zur Stelle Q zu rudern. Da der See einen Radius von 50 Metern hat, benötigt sie dafür 50 Sekunden. Das Monster dagegen muss den halben See umrunden. Den halben Kreisumfang berechnet man, indem man den Radius mit der Kreiszahl Pi multipliziert, was 157 Meter ergibt. Da das Tier sich mit 4 Metern pro Sekunde bewegt, erreicht es die Stelle Q folglich nach knapp 40 Sekunden, deutlich früher als Alice. Dieser Plan würde in den sicheren Tod führen. Alice’ zweite Idee ist raffinerter: Sie plant, auf einem kleinen Kreis mit Radius x um Z herum zu rudern, bis eine Situation erreicht ist, in der – wie in der Abbildung – ihre Position P, das Zentrum Z und das Monster M auf einer Linie liegen. Dabei aber muss x so klein sein, dass sie auf dem kleinen Kreis schneller rundherum rudern, als das Monster aussen herum rennen kann, das heisst, x darf höchstens den vierten Teil des Seeradius ausmachen. Alice wählt x = 12 Meter. Sie rudert nun auf dem Rand des kleinen Kreises so lange, bis sie, immer in Richtung Z blickend, das Monster genau in der Verlängerung ihrer Blickrichtung sieht. Jetzt oder nie, denkt sie sich, und beginnt, ihr Boot in Richtung Q zu treiben. Im gleichen Augenblick startet das Monster seine Aufholjagd.

Wird sie es schaffen, die Uferstelle Q vor dem Monster zu erreichen? Wie viele Sekunden müssen ihr reichen, um sich an Land zu stemmen und loszurennen? Und was wäre das kleinstmögliche x, für das diese Strategie gerade noch funktioniert?

Die Lösung erscheint mit der nächsten Kolumne am 6. Dezember.

Lösung vom 11. Oktober 2011: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks stehen im Verhältnis 2:1.