IN EINER UNGEWÖHNLICHEN Kegelbahn sind die Kegel gitterförmig mit Maschenweite 1 Meter aufgestellt worden. Zudem muss man sich die Kegel nach oben und nach rechts entsprechend fortgesetzt denken, sodass sie also theoretisch nirgends ein Ende haben. Nun betritt Hippasos (H) die Kegelbahn; zufällig hat er denselben Namen wie der antike griechische Mathematiker Hippasos von Metapont. H soll in der Ecke unten links eine Kugel abgeben; im Gegensatz zu den üblichen Gepflogenheiten auf Kegelbahnen soll die Kugel aber so über das Feld rollen, dass sie keinen einzigen Kegel trifft.  

GEHT DAS? Ist es möglich, eine geradlinige Bahn so durch das Feld zu legen, dass kein Kegel überrollt wird? Zuerst soll betont werden, dass Kugel und Kegel alle winzig klein (punktförmig) sind. Mathematiker lieben solche Idealisierungen, weil dann viele komplizierte Dinge relativ einfach werden. Wenn H die Kugel auf die in der Abbildung skizzierte Bahn schickt, dann donnert sie in den mit P bezeichneten Kegel rein, was ja zu vermeiden ist. Ich nenne diese Bahn die 3/4-Bahn, weil, wenn man von P aus 3 Meter nach unten und 4 Meter nach links geht, man zu H gelangt oder – umgekehrt – weil sie auf 4 Meter nach rechts 3 Meter ansteigt.  

ENTSPRECHEND WÄRE AUCH die 1/1-Bahn nicht erfolgreich, weil sie mit Kegel Q kollidieren würde. Und bei der 2/5-Bahn würde der Kegel R fallen, und natürlich sind auch die 8/3-Bahn, die 97/5-Bahn, die 1203/4775-Bahn zu vermeiden usw. Was bleibt dann noch?  

ALL DIE HIER erwähnten Zahlen (3/4, 1/1, 2/5, 8/3, 97/5, 1203/4775 . . .) heissen rationale Zahlen. Wenn H Erfolg haben will, so darf die Bahn seiner Kugel also ganz sicher nicht einer rationalen Zahl entsprechen. Glücklicherweise entdeckte sein berühmter griechischer Namensvetter, dass es noch andere Zahlen gibt, und zwar unendlich viele. Sie heissen irrationale Zahlen und können niemals in der Form a/b dargestellt werden mit ganzen Zahlen a und b. Beispiele solcher Zahlen sind ð und die Wurzeln aus 2, 3, 5, 6 . . . – also alle Wurzeln ganzer Zahlen, die nicht in einer ganzen Zahl aufgehen. H muss seine Kugel also so lenken, dass die Bahn einer irrationalen Zahl entspricht, dann wird sie nie auf einen Kegel treffen. Als Beispiel käme die (Wurzel 2)/3-Bahn infrage, die auf 3 Meter nach rechts Wurzel 2 Meter nach oben führt.  
LANGE ZEIT GLAUBTE MAN, dass der Lehrer von Hippasos, Pythagoras, über die Entdeckung seines Schülers so erzürnt gewesen war, dass er angeordnet hatte, sie geheim zu halten, und dem Schüler sogar den Tod wünschte, der diesen auch prompt ereilte. Hippasos ertrank nämlich im Meer anlässlich einer Schiffsreise. Mathematikhistoriker glauben dagegen, dass diese Deutung auf einem Missverständnis beruht und dass Pythagoras sogar besonders stolz auf diese fundamentale Entdeckung gewesen sein musste.  

NEBENBEI: Wo in der Abbildung findet man eine Strecke der Länge Wurzel 2? Wie kann die (Wurzel 2)/3-Bahn also konstruiert werden?  

Lösung der Kolumne vom 15. 6.: 32 Nullen.