IN DEN 70ER-JAHREN war in den USA die Fernsehshow «Let’s make a deal» zu sehen, die vom Moderator Monty Hall präsentiert wurde. Ein Kandidat (K) stand drei Türen gegenüber, aus denen er jeweils eine zu wählen hatte. Während hinter einer Tür ein Auto wartete, verbargen die beiden anderen Türen Ziegen – ohne Ziegen herabsetzen zu wollen, muss vermutet werden, dass K vor allem am Auto interessiert war. Angenommen, damals passierte Folgendes: K wählte Tür 1. Mit den Worten «Ich zeige Ihnen mal was» öffnete Monty Tür 3, die den Blick auf eine Ziege freigab. Dann fragte Monty, ob K bei der ersten Wahl bleiben oder noch wechseln wolle. Sollte K bei Tür 1 verharren oder zu Tür 2 wechseln? Oder ist in beiden Fällen die Gewinnwahrscheinlichkeit gleich? Das ist das Monty-Hall-Problem. Es darf, obwohl überaus berühmt, in dieser Kolumne keinesfalls fehlen.

DIE ANTWORT LAUTET: K sollte unbedingt wechseln. Er würde dadurch die Wahrscheinlichkeit, das Auto zu gewinnen, verdoppeln. Mit mathematischen Methoden lässt sich das leicht untermauern. Menschen neigen dazu, einem mathematischen Resultat zu misstrauen, wenn es nicht plausibel gemacht und somit erfühlt werden kann. Viele spüren in sich einen Widerstand, dieses Resultat zu akzeptieren: Wenn zwei Türen zur Auswahl stehen, scheint es plausibler, dass jede das Auto mit gleicher Wahrscheinlichkeit verbirgt. Es müsste doch eigentlich eine 50-50-Situation sein. Psychologen machen diesen inneren Widerstand gegen das Wechseln mit dem Hinweis nachvollziehbar, dass Menschen es meist als schlechter ansehen, wenn ein Nachteil (Ziege) durch aktives Handeln (wechseln) als durch Nichtstun (verharren) herbeigeführt wird. Bei Verharren kann man «weniger dafür». Warum sollte K trotzdem wechseln? Untersuchen wir einmal, was Monty dazu bewegt haben mag, Tür 3 zu öffnen. Es gibt zwei Fälle: Entweder ist das Auto hinter Tür 1 (also der von K gewählten), und Monty hat Tür 3 als eine von zwei gleichberechtigten Türen ausgewählt. Oder das Auto ist nicht hinter Tür 1. Dann ist Monty gezwungen, von den Türen 2 und 3 diejenige zu öffnen, die das Auto nicht enthält. Diese beiden Situationen sind offenbar grundverschieden, was plausibel macht, dass ihre Wahrscheinlichkeiten nicht gleich sind. Während Monty in der ersten Situation zwei Möglichkeiten hat, das Auto zu umgehen, hat er in der zweiten nur noch eine.

SITUATION 1 hat Wahrscheinlichkeit 1/6, weil das Auto mit Chance 1/3 hinter Tür 1 steckt und Monty mit Chance ½ Tür 3 öffnet (und weil 1/3×½ = 1/6 ist). Situation 2 aber hat Wahrscheinlichkeit 1/3, weil sie genau dann eintritt, wenn das Auto hinter Tür 2 steckt (und K Tür 1 gewählt hat), also in einem Drittel aller Fälle. Somit muss K unbedingt wechseln. Wenn wir schon über Wahrscheinlichkeiten reden: Worauf sollte man eher wetten: dass bei sechsmaligem Werfen eines Würfels mindestens einmal eine Sechs oder dass bei 36-maligem Werfen zweier Würfel mindestens einmal eine Doppelsechs erscheint?

Lösung der Kolumne vom 9. Februar: Markiert man im grossen Dreieck die drei Eckpunkte sowie die drei Seitenmittelpunkte, so hat man sechs «Taubenschläge». Die fünf kleinen Dreiecke sind die Tauben. Jedes kann höchstens einen dieser sechs Punkte abdecken, weil zwei Punkte mindestens 1 cm voneinander entfernt liegen. Also kann es nicht gehen